En 1605 fue ocupado como niño soprano por la Tafelmusik en la  corte electoral de Dresde y en 1612 fue elegido allí como instrumentista. El año siguiente fue a Augsburgo a estudiar a expensas del elector con el renombrado organista Christian Erbach, con quien permaneció por lo menos hasta 1615. Cuando regresó a  Dresde, empezó a trabajar en composición bajo la guía de Heinrich Schütz; esto llevó a una asociación de larga duración entre ambos, típica de los cercanos lazos que Schütz formó con  muchos de sus alumnos. En 1625 fue nombrado organista de la corte; sus deberes incluían la responsabilidad por la educación musical  de los niños del coro, y en esta condición enseñó órgano a Matthias Weckmann.

También se dedicó a publicar música, primero en sociedad con Daniel Weixer, más tarde con Alexander Hering. Sus publicaciones incluyeron algo de su propia música así como colecciones de su profesor Schütz (la segunda colección de “Symphoniae sacrae”, 1647, y la “Geistliche Chormusik”, 1648).

Desde 1631 Klemm continuó sirviendo en la corte bajo Johann Georg I, y luego de la muerte de éste (1657), bajo su sucesor Johann Georg II. Desaparece de los registros de Dresde en 1659, presuntamente porque se retiró o murió. 

En 1631 Klemm publicó a sus expensas en Dresde “Partitura seu Tabulatura italica”, una colección de 36 fugas para dos, tres y cuatro voces en los 12 modos tradicionales, apropiada para órgano o cualquier otro instrumento. Las fugas fueron impresas en partitura abierta, una novedad comparativa en Alemania, donde los intérpretes de teclado estaban acostumbrados a leer la tablatura alemana de órgano. Klemm siguió aquí el ejemplo de muchas publicaciones italianas (de aquí la ‘Tabulatura italica’ del título alternativo), las cuales, aunque tal vez más engorrosas para el intérprete, permitían la clara presentación de la estructura contrapuntística (para interpretación de conjuntos sugería en un apéndice que las partes individuales podían copiarse aparte).

Un rasgo más progresista es el dominante monotematicismo, aunque en el manejo de sus temas, así como en otros aspectos de escritura  fugal, Klemm demostraba una amplia variedad de aproximaciones, convirtiendo la colección en una valiosa fuente para el estudio de las formas imitativas en boga alrededor de 1630. Aparentemente fue tenido en alta estima; 90 años más tarde Mattheson todavía sugería que ‘muchos compositores modernos pueden seguramente aprender muchas grandes materias básicas de él donde no se considere suficientemente capacitado’. 

Solamente una pieza más de Klemm sobrevive, “Lobe den Herren meine Seele” de seis partes (copiado entre 1664 y 1678). Su  “Teutsche geistliche Madrigalien” para cuatro a seis voces y continuo (Freiberg, 1629) y “Wohl dem der in Gottes Furcht steht” de diez partes (antes en un manuscrito en la Kantoreigesellschaft, Pirna) están perdidos.